Spørgsmål # f3eb0

Svar:

#c = 2/3 #

Forklaring:

Til #F (x) # at være kontinuerlig på #x = 2 #, skal følgende være sandt:

• #lim_ (x-> 2) f (x) # eksisterer.
• #F (2) # eksisterer (dette er ikke et problem her siden #F (x) # er klart defineret på #x = 2 #

Lad os undersøge det første postulat. Vi ved, at der for en grænse kan eksistere, venstre og højre grænser skal være ens. matematisk:

#lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) #

Dette viser også, hvorfor vi kun er interesserede i #x = 2 #: Det er den eneste værdi af #x# for hvilken denne funktion er defineret som forskellige ting til højre og venstre, hvilket betyder at der er en chance for, at venstre og højre håndgrænser måske ikke er ens.

Vi forsøger at finde værdier af 'c', for hvilke disse grænser er ens.

Når vi går tilbage til den delvise funktion, ser vi det til venstre for #2#, #f (x) = cx ^ 2 + 2x #. Alternativt til højre for #x = 2 #vi ser det #f (x) = x ^ 3-cx #

Så:

#lim_ (x-> 2) cx ^ 2 + 2x = lim_ (x-> 2) x ^ 3 - cx #

Evaluering af grænserne:

# (2) ^ 2c + 2 (2) = (2) ^ 3 - (2) c #

# => 4c + 4 = 8 - 2c #

Herfra er det bare et spørgsmål om at løse for # C #:

# 6c = 4 #

#c = 2/3 #

Hvad har vi fundet? Nå, vi har fundet ud af en værdi for # C # Det vil gøre denne funktion kontinuerlig overalt. Enhver anden værdi af # C # og højre og venstre håndgrænser vil ikke svare hinanden, og funktionen vil ikke være kontinuerlig overalt.

For at få en visuel ide om, hvordan dette virker, skal du tjekke denne interaktive graf, jeg lavede. Vælg forskellige værdier af # C #, og se, hvordan funktionen ophører med at være kontinuerlig på #x = 2 #!

Håber det hjalp:)