Hvordan finder jeg den integrerede int (x * cos (5x)) dx?

Vi vil huske formlen for integration af dele, som er:

#int du dv = uv - int v du #

For at finde dette integreret med succes vil vi lade #u = x #, og #dv = cos 5x dx #. Derfor, #du = dx # og #v = 1/5 sin 5x #. (# V # kan findes ved hjælp af en hurtig # U #substitution)

Grunden til at jeg valgte #x# for værdien af # U # er fordi jeg ved, at jeg senere vil ende med at integrere # V # ganget med # U #derivat. Siden derivatet af # U # er bare #1#, og da integrering af en trig-funktion i sig selv ikke gør det mere komplekst, har vi effektivt fjernet #x# fra integandet og kun bekymre sig om sinusen nu.

Så tilslutter vi IBP's formel får vi:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Trækker #1/5# ud af integandet giver os:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int synd 5x dx #

Integration af sinus vil kun tage en # U #substitution. Da vi allerede har brugt # U # for IBP's formel vil jeg bruge brevet # Q # i stedet:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

For at få en # 5 dx # inde i integandet vil jeg formere integralet af en anden #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

Og erstatte alt hvad angår # Q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Vi ved, at integralet af #synd# er # -Cos #, så vi kan nemt afslutte denne integrering. Husk integrationskonstanten:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Nu vil vi blot erstatte tilbage # Q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

Og der er vores integral.