Hvad er parabolas ligning med fokus på (-15, -19) og en directrix af y = -8?

Svar:

#y = -1/22 (x + 15) ^ 2- 27/2 #

Forklaring:

Fordi direktoren er en vandret linje, ved vi, at parabolen er vertikalt orienteret (åbner enten op eller ned). Fordi y-koordinatet for fokuset (-19) under directrixen (-8) ved vi, at parabolen åbner ned. Spidsformen af ligningen for denne type parabola er:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Hvor h er x-koordinatet af vertexet, k det y koordineret af vertexet og brændvidden f, er halvdelen af den signerede afstand fra directrix til fokus:

#f = (y _ ("fokus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

Y-koordinatet for vertexet, k, er f plus y-koordinatet for directrixen:

# k = f + y _ ("directrix") #

# k = -11 / 2 + -8 #

# k = (-27) / 2 #

X-koordinatet for vertexet, h, er det samme som fokusets x-koordinat:

#h = -15 #

Ved at erstatte disse værdier i ligning 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Forenkler en smule:

#y = -1/22 (x + 15) ^ 2- 27/2 #

Svar:

# X ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Forklaring:

Parabola er et punkts punkt, som bevæger sig således, at afstanden fra en linje, kaldet directix, og et punkt, kaldet fokus, er ens.

Vi ved, at afstanden mellem to punkter # (X_1, y_1) # og # X_2, y_2) # er givet af #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # og

afstanden mellem punkt # (X_1, y_1) # og linje # Ax + by + c = 0 # er # | Ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Nu afstand af et punkt # (X, y) # på parabol fra fokus på #(-15,-19)# er #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

og dens afstand fra directrix # Y = -8 # eller # Y + 8 = 0 # er # | Y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Derfor ville ligning af parabol være

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # eller

# (X + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # eller

# X ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # eller

# X ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

graf {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56,5, 23,5, -35,28, 4,72}