Antag at jeg ikke har en formel for g (x), men jeg ved at g (1) = 3 og g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) for alle x. Hvordan bruger jeg en lineær tilnærmelse til at estimere g (0.9) og g (1.1)?

Bær med mig en smule, men det involverer ligningens aflytningsligning af en linje baseret på 1. derivat … Og jeg vil gerne lede dig på vej til gøre svaret, ikke bare give du svaret …

Okay, før jeg kommer til svaret, vil jeg lade dig ind på den (noget) humoristiske diskussion, min kontorkammerat, og jeg havde lige …

Mig: "Okay, waitasec … Du kender ikke g (x), men du ved, at derivatet er sandt for alle (x) … Hvorfor vil du foretage en lineær fortolkning baseret på derivatet? Bare tag integralet af derivatet, og du har den oprindelige formel … højre?"

OM: "Vent, hvad?" han læser ovennævnte spørgsmål "Hellige moly, jeg har ikke gjort det i år!"

Så det fører til en diskussion mellem os om, hvordan vi integrerer dette, men hvad professoren virkelig ønsker (sandsynligvis), er ikke at få dig til at gøre den omvendte operation (som i nogle tilfælde kan være virkelig HARD), men at forstå hvad Det første derivat er faktisk.

Så vi ridsede vores hoveder og slog igennem vores kollektive aldersfylde minder, og endelig blev enige om, at 2. derivatet er de lokale maxima / minima, og den 1. derivat (den du er interesseret i) er den hældning af kurven på det givne punkt.

Nå, hvad har dette at gøre med prisen på orme i Mexico? Tja, hvis vi antager, at hældningen forbliver forholdsvis konstant for alle "nærliggende" punkter (for at vide dette, skal du se på kurven og bruge god dømmekraft baseret på hvad du ved om ting - men da er det din prof ønsker, det er det han får!), så kan vi lave en lineær interpolation - hvilket er præcis det du bad om!

Okay, så - svarets kød:

Hældningen (m) af funktionen ved vores kendte værdi er:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) #

Derfor er hældningen ved ud kendt punkt (x = 1):

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

m =#sqrt (1 + 15) #

m =#sqrt (16) #

m = 4

Husk da, at formlen for en linje (nødvendig for lineær interpolation) er:

# Y = mx + b #

Dette betyder, at for punkter "tæt" til vores kendte værdi kan vi tilnærme værdierne som værende på en linje med hældning m og y-afsnit b. eller:

#g (x) = mx + b #

#g (x) = 4x + b #

Så, hvad er så # B #?

Vi løser for dette ved hjælp af vores kendte værdi:

#g (1) = 3 #

# 4 (1) + b = 3 #

# 4 + b = 3 #

# B = -1 #

Nu kender vi formlen for linjen, der nærmer vores kurve ved det kendte punkt:

g (x#~=#1) = 4x-1

Så, nej, vi indsætter vores tilnærmelsespunkter for at få den omtrentlige værdi, eller:

#g (0,9) ~ = 4 (0,9) -1 #

#g (0,9) ~ = 3,6-1 #

#g (0,9) ~ = 2,6 #

og

#g (1.1) ~ = 4 (1.1) -1 #

#g (1.1) ~ = 4,4-1 #

#g (1.1) ~ = 3,4 #

Nemt, ikke?