Bevis at 3 ^ x-1 = y ^ 4 eller 3 ^ x + 1 = y ^ 4 ikke har heltal positive løsninger. ?

Svar:

Se forklaring …

Sag #bb (3 ^ x + 1 = y ^ 4) #

Hvis # 3 ^ x +1 = y ^ 4 # derefter:

# 3 ^ x = y ^ 4-1 = (y-1) (y + 1) (y ^ 2 + 1) #

Hvis # Y # er et helt tal, så mindst en af # Y-1 # og # Y + 1 # er ikke delelig med #3#, så de kan ikke begge være faktorer for et helt tal af #3#.

#COLOR (hvid) () #

Sag #bb (3 ^ x-1 = y ^ 4) #

Hvis # 3 ^ x - 1 = y ^ 4 # derefter:

# 3 ^ x = y ^ 4 + 1 #

Overvej mulige værdier af # Y ^ 4 + 1 # for værdierne af # Y # modulo #3#:

#0^4 + 1 -= 1#

#1^4 + 1 -= 2#

#2^4 + 1 -= 2#

Da ingen af disse er kongruente til #0# modulo #3#, de kan ikke være kongruente til # 3 ^ x # for positive heltal værdier af #x#.