Hvad er perioden for f (t) = sin (t / 36) + cos ((t) / 42)?

Svar:

#T = 504pi #

Forklaring:

Først og fremmest ved vi det #sin (x) # og #cos (x) # har en periode på # 2pi #.

Herfra kan vi fratrække det #sin (x / k) # har en periode på # K * 2pi #: Du kan tænke det # X / k # er en variabel kører på # 1 / k # hastigheden af #x#. Så for eksempel # X / 2 # kører ved halv hastighed på #x#, og det vil have brug for # 4pi # at have en periode i stedet for # 2pi #.

I dit tilfælde #sin (t / 36) # vil have en periode på # 72pi #, og #cos (t / 42) # vil have en periode på # 84pi #.

Din globale funktion er summen af to periodiske funktioner. Per definition, #F (x) # er periodisk med periode # T # hvis # T # er det mindste antal sådan

#f (x + T) = f (x) #

og i dit tilfælde oversætter dette til

#sin (t / 36 + T) + cos (t / 42 + T) = synd (t / 36) + cos (t / 42)

Herfra kan du se, at perioden for #F (x) # kan ikke være # 72pi # heller ikke # 84pi #, fordi kun en af de to udtryk vil gøre en hel tur, mens den anden vil antage en anden værdi. Og da vi har brug for begge Vilkår for at gøre en hel tur, vi er nødt til at tage den mindst fælles multipel mellem de to perioder:

# lcm (72pi, 84pi) = 504pi #

Svar:

# 1512pi #.

Forklaring:

Den mindst positive P (hvis nogen) sådan, at f (t + P) = f (t) er passende

kaldet perioden f (t). For denne P, f (t + nP) = f (t), n = + - 1,, + -2, + -3, … #.

Til #sin t og cos t, P = 2pi. #

Til #sin kt og cos kt, P = 2 / kpi. #

Her, perioden for #sin (t / 36) # er pi / 18 # og, til #cos (t / 42) #, det er # Pi / 21 #.

For den givne sammensatte oscillation f (t) bør perioden P være

således at det også er perioden for de separate vilkår.

Denne P er givet ved # P = M (pi / 18) = N (pi / 21). For M = 42 og N = 36, # P = 1512 pi #

Se nu, hvordan det virker.

#F (t + 1512pi) #

# = Sin (t / 36 + 42pi) + cos (t / 42 + 36pi) #

# = synd (t / 36) + cos (t / 42) #

# = F (t).

Hvis halveres P til 761, og dette er mærkeligt. Så, P = 1512 er det mindst mulige

endda flere af # Pi #.