Hvad er ligningen for den normale linje af f (x) = x ^ 3-49x ^ 2 + 7x ved x = 7?

Svar:

# Y = 1 / 532x-2009,013 #

Forklaring:

Den normale linje ved et punkt er linien vinkelret på tangentlinjen på det tidspunkt. Når vi løser problemer af denne type, finder vi hældningen af tangentlinjen ved hjælp af derivatet, brug det for at finde hældningen af den normale linje, og brug et punkt fra funktionen til at finde den normale linjekvation.

Trin 1: Hældning af tangentlinjen

Alt vi gør her er at tage afledt af funktionen og evaluere den på # X = 7 #:

#y '= 3x ^ 2-98x + 7 #

#y '(7) = 3 (7) ^ 2-98 (7) + 7 #

#y '(7) = -532 #

Det betyder hældningen af tangentlinjen på # X = 7 # er -532.

Trin 2: Hældning af den normale linje

Hældningen af den normale linje er simpelthen den modsatte invers af tangentlinjens hældning (fordi disse to er vinkelrette). Så vi flipper bare -532 og gør det positivt at få #1/532# som hældningen af den normale linje.

Sluttrin: Find ligningen

Normale linjekvationer er af formen # Y = mx + b #, hvor # Y # og #x# er punkter på linjen, # M # er hældningen, og # B # er # Y #opfange. Vi har skråningen, # M #, som vi fandt i trin to: #1/532#. Punkterne #x# og # Y # kan let findes ved at erstatte # X = 7 # ind i ligningen og løse for # Y #:

# Y = (7) ^ 3-49 (7) ^ 2 + 7 (7) #

#y = -2009 #

Nu kan vi bruge alle disse oplysninger til at finde # B #, det # Y #opfange:

# Y = mx + b #

# -2009 = (1/532) (7) + b #

# -2009 = 7/532 + b #

# -2009-7 / 532 = b #

Vi kan tilnærme dette til -2009.013, eller hvis vi virkelig ville, kunne vi tilnærme det til -2009.

Ligningen af den normale linje er således # Y = 1 / 532x-2009,013 #.