Funktionen 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 er maxima, minima eller punkt for bøjning?

Svar:

Ingen minutter eller max
Bøjningspunkt ved #x = -2 / 3 #.

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10,10,10,20}

Forklaring:

Mins og Maxes

For en given #x#-value (lad os kalde det # C #) for at være en max eller min for en given funktion, skal den opfylde følgende:

#f '(c) = 0 # eller udefineret.

Disse værdier af # C # kaldes også din kritiske punkter.

Bemærk: Ikke alle kritiske punkter er max / min, men alle max / min er er kritiske punkter

Så lad os finde disse til din funktion:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Det betyder ikke, så lad os prøve kvadratisk formel:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… og vi kan stoppe lige der. Som du kan se, har vi et negativt tal under kvadratroten. Derfor er der ingen reelle kritiske punkter til denne funktion.

Bøjningspunkter

Lad os nu finde punkter af bøjning. Dette er punkter, hvor grafen har en ændring i konkavitet (eller krumning). For et punkt (kald det # C #) for at være et bøjningspunkt, skal det opfylde følgende:

#f '' (c) = 0 #.

Bemærk: Ikke alle sådanne punkter er bøjningspunkter, men alle punkter af bøjning skal tilfredsstille dette.

Så lad os finde disse:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Nu skal vi kontrollere, om dette faktisk er et punkt af bøjning. Så vi skal bekræfte det #F '' (x) # Faktisk skifter skilt på #x = -2 / 3 #.

Så lad os teste værdier til højre og venstre for #x = -2 / 3 #:

Ret:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Venstre:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

Vi er ligeglad med, hvad de faktiske værdier er, men som vi tydeligt kan se, er der et positivt tal til højre for #x = -2 / 3 #, og et negativt tal til venstre for #x = -2 / 3 #. Derfor er det faktisk et punkt med bøjning.

At opsummere, #F (x) # har ingen kritiske punkter (eller min eller max), men det har en bøjningspunkt på #x = -2 / 3 #.

Lad os se på grafen for #F (x) # og se hvad disse resultater betyder:

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10,10,10,20}

Denne graf øges overalt, så det har ikke noget sted hvor derivatet = 0. Det går dog fra buet ned (konkave ned) til buet op (konkave) på #x = -2 / 3 #.

Håber det hjalp:)