Spørgsmål # 9be0d

Svar:

Denne ligning er en tilnærmelse af den relativistiske energi af en partikel til lave hastigheder.

Forklaring:

Jeg antager en vis viden om speciel relativitet, nemlig at energien fra en bevægende partikel observeret fra en inertiel ramme er givet af # E = gammamc ^ 2 #, hvor # Gamma = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # Lorentz-faktoren. Her # V # er partikelhastigheden observeret af en observatør i en inertialramme.

Et vigtigt tilnærmelsesværktøj til fysikere er Taylor-serien tilnærmelse. Det betyder, at vi kan tilnærme en funktion #F (x) # ved #F (x) approxsum_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #, jo højere # N #, jo bedre er tilnærmelsen. Faktisk bliver denne tilnærmelse for en stor klasse af glatte funktioner nøjagtige som # N # går til # Oo #. Noter det #F ^ ((n)) # står for det nth derivat af # F #.

Vi nærmer os funktionen #F (x) = 1 / sqrt (1-x) # for små #x#, bemærker vi, at hvis #x# Er lille, # X ^ 2 # vil være endnu mindre, så vi antager, at vi kan ignorere faktorer i denne ordre. Så vi har #F (x) approxf (0) + f '(0) x # (denne særlige tilnærmelse er også kendt som Newton-tilnærmelsen). #F (0) = 0 # og #F '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, så #F '(0) = 1/2 #. Derfor #F (x) approx1 + 1 / 2x #.

Nu bemærker vi det # Gamma = f ((v / c) ^ 2) #. Faktisk hvis # V # er lille i forhold til # C #, som det vil være i daglige situationer, gælder tilnærmelsen # Gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. Ved at erstatte dette i ligningen for den totale energi af en partikel giver # Eapproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2 #. Dette giver os den kinetiske energi #E _ ("pårørende") = E-E_ "hvile" approxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2-mc ^ 2 = 1 / 2mv ^ 2 # til lave hastigheder, hvilket er i overensstemmelse med klassiske teorier. For højere hastigheder er det klogt at bruge flere termer fra Taylorserien og slutte med såkaldte relativistiske korrektioner på den kinetiske energi.