Hvordan finder du extrema for g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)?

Svar:

#g (x) # har ikke noget maksimum og et globalt og lokalt minimum i # x = -1 #

Forklaring:

Noter det:

# (1) "" x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

Så funktionen

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

er defineret for hver #x i RR #.

Udover som #f (y) = sqrty # er en monoton stigende funktion, så enhver ekstrem for #g (x) # er også en ekstrem for:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

Men dette er et andenordenspolynom med førende positiv koefficient, derfor har den ikke noget maksimum og et enkelt lokalt minimum.

Fra #(1)# vi kan let se det som:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

og:

# X + 1 = 0 #

kun når # x = -1 #, derefter:

#f (x)> = 4 #

og

#f (x) = 4 #

kun for # x = -1 #.

Følgelig:

#g (x)> = 2 #

og:

#g (x) = 2 #

kun for # x = -1 #.

Det kan vi konkludere med #g (x) # har ikke noget maksimum og et globalt og lokalt minimum i # x = -1 #

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #, #x##i## RR #

Vi behøver # X ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_g = RR #

# AA ##x##i## RR #:

#g '(x) = ((x ^ 2 + 2x + 5)') / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (X + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

#g '(x) = 0 # #<=># # (X = -1) #

• Til #x <-1 # vi har #g '(x) <0 # så # G # er strengt faldende i # (- oo, -1 #

• Til #x> ##-1# vi har #g '(x)> 0 # så # G # stiger strenge i # - 1, + oo) #

Derfor #g (x)> = g (-1) = 2> 0 #, # AA ##x##i## RR #

Som resultat # G # har et globalt minimum på # X_0 = -1 #, #g (-1) = 2 #