Hvordan er trigonometrisk substitution forskellig fra din substitution?

Svar:

Generelt anvendes trig-substitution til integraler af formularen # X ^ 2 + -a ^ 2 # eller #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, mens # U #-substitution anvendes, når en funktion og dens derivat vises i integralet.

Forklaring:

Jeg finder begge typer substitutioner meget fascinerende på grund af begrundelsen bag dem. Overvej først trig-substitution. Dette stammer fra den pythagoriske sætning og de pythagoranske identiteter, sandsynligvis de to vigtigste begreber i trigonometri. Vi bruger dette, når vi har noget som:

# X ^ 2 + a ^ 2 -> # hvor #en# er konstant

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # igen antager #en# er konstant

Vi kan se, at disse to ser forfærdeligt ud # A ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, som er den pythagoriske sætning. Det relaterer de to sider af en rigtig trekant til trekantens hypotenuse. Hvis vi trækker dette ud, kan vi se det ja, # X ^ 2 + a ^ 2 # kan repræsenteres med en trekant:

Billedet er meget nyttigt, fordi det fortæller os # Tantheta = x / en #, eller # Atantheta = x #; dette danner grundlaget for trig-substitutionen. Desuden (og det er her, det bliver fantastisk), når du erstatter # x = tantheta # ind i # X ^ 2 + a ^ 2 #, du ender med en pythagoransk identitet, i dette tilfælde # Tan ^ 2-theta + 1 = sek ^ 2-theta #. Du kan derefter gøre noget forenkling for # Sek ^ 2-theta # hvis du har brug for det, og integralet er let der ud. Det samme gælder for sagerne # X ^ 2-a ^ 2 #, # En ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, og #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Du kan bruge trig sub. for en lang række problemer, men du kan bruge # U #-substitution muligvis endnu mere. Vi bruger denne teknik, når vi har noget lignende # Intlnx / XdX #. Hvis vi er opmærksomme, ser vi, at vi har to funktioner - # LNX # og # 1 / x #. Og hvis vi husker vores grundlæggende derivater, ved vi det # D / dxlnx = 1 / x # til #x> 0 # (eller # D / dxlnabs (x) = 1 / x # til # gange! = 0 #). Så ideen er at sige lad # U = LNX #; derefter # (Du) / dx = 1 / x # og # Du = dx / x #. Problemet, efter at disse substitutioner er foretaget, forenkler # Intudu # - en meget lettere integreret end før.

Selvom disse to teknikker kan være forskellige, tjener de begge samme formål: At reducere en integrering til en enklere form, så vi kan bruge grundlæggende teknikker. Jeg er sikker på, at min forklaring ikke er tilstrækkelig til at indeholde alle de specifikke detaljer om disse substitutioner, så jeg inviterer andre til at bidrage.