Spørgsmål # 242a2

Svar:

For den energi, der er lagret i kondensatoren til tiden # T # vi har #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # hvor #E (0) # er den oprindelige energi, # C # kapacitet og # R # Trådens modstand forbinder kondensatorens to sider.

Forklaring:

Lad os først gennemgå nogle centrale begreber, før du besvarer dette spørgsmål. Selvfølgelig skal vi kende energien, der er lagret i kondensatoren, eller rettere den energi, der er lagret i det elektriske felt, der er skabt af ladningen, der er lagret i kondensatoren. For dette har vi formlen # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # med # C # kapaciteten og kondensatorens kapacitet # Q # ladningen opbevares på en af kondensatorpladerne. 1

Så for at kunne vide, hvordan energien falder, skal vi vide, hvordan ladningen falder. For dette er der et par ting, vi bør huske på. Den første ting er, at afgiften kun kan falde, hvis den kan gå overalt. Det enkleste scenario er, at de to plader er forbundet via en ledning, så pladerne kan bytte opladning, så de bliver neutrale. Den anden ting er, at hvis vi antager, at ledningen ikke har nogen modstand, vil ladningen være i stand til at bevæge sig øjeblikkeligt, så energien vil falde til nul med den hastighed også. Da dette er en kedelig situation, og foruden, ikke rigtig realistisk, antager vi ledningen at have en vis modstand # R #, som vi kan model ved at forbinde kondensatorpladerne via en modstand med modstand # R # ved hjælp af modstandsdygtige ledninger.

Hvad vi nu har, er et såkaldt RC-kredsløb, set nedenfor. For at finde ud af, hvordan den lagrede ladning ændres, skal vi skrive ned en forskellig ligning. Jeg er ikke sikker på, hvor dygtig læseren er i matematik, så lad mig vide, om følgende afsnit er uklart for dig, og jeg vil forsøge at forklare det mere detaljeret.

Først og fremmest bemærker vi, at når vi går langs ledningen, oplever vi to springer elektrisk potentiale (spænding), nemlig ved kondensatoren og modstanden. Disse spring er givet af # DeltaV_C = Q / C # og # DeltaV_R = IR # henholdsvis 1. Vi bemærker, at der i starten ikke er nogen strøm, så den potentielle forskel over modstanden er 0, men som vi vil se, vil der være en strøm, når afgifterne begynder at bevæge sig. Nu bemærker vi, at når vi går rundt i kredsløbet fra et tidspunkt, vil vi ende på det samme punkt igen, fordi vi er i et kredsløb. På dette ene punkt er potentialet det samme begge gange, fordi det er det samme punkt. (Når jeg siger, at vi går langs kredsløbet, mener jeg ikke dette bogstaveligt, snarere vi inspicerer spændingsspringene på kredsløbet på et tidspunkt, så ingen tid går forbi, når vi går langs kredsløbet, derfor holder argumentet, selvom spændingen ændres i tide.)

Det betyder, at det samlede potentielle spring er nul. Så # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Nu tænker vi på hvad #JEG#, den nuværende er. Strømmen er bevægende ladning, det tager positiv ladning væk fra en kondensatorplade og leverer til den anden. (Faktisk det meste af tiden er det omvendt, men det betyder ikke noget for matematikken i dette problem.) Det betyder, at strømmen svarer til forandringen i ladningen på pladerne, med andre ord # I = (dQ) / dt #. At erstatte dette i ligningen ovenfor giver os # (DQ) / DTR + Q / C = 0 #, hvilket betyder # (DQ) / dt = -Q / (CR) #. Dette er en såkaldt lineær førsteordens differentialekvation. Det dikterer forandringen i afgiften af værdien af afgiften på det tidspunkt på en lineær måde, hvilket betyder, at hvis afgiften var dobbelt så stor, vil ændringsafgiften være dobbelt så stor. Vi kan løse denne ligning ved en smart brug af calculus.

# (DQ) / dt = -Q / (CR) #, vi antager # Qne0 #, som det ikke er i første omgang, og som det vil vise sig, vil det aldrig være. Ved hjælp af dette kan vi sige # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. At vide # Q # på et tidspunkt # T # (med andre ord #Q (t) #, integrerer vi ligningen som følger: # Int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt) dt '= int_0 ^ t1 / (CR) dt' = - t / (CR) # siden # C # og # R # er konstanter. # Int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt) dt '= int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # via ændring af variabler. Det betyder #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, så #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Endelig skal vi erstatte dette tilbage i ligningen for energien:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Så falder energien eksponentielt gennem tiden. Faktisk ser vi det hvis # R # skulle gå til nul, #E (t) # ville gå til 0 øjeblikkeligt.

1 Griffiths, David J. Introduktion til elektrodynamik. Fjerde udgave. Pearson Education Limited, 2014