Q.1 Hvis alfa, beta er rødderne af ligningen x ^ 2-2x + 3 = 0 få ligningen, hvis rødder er alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 og beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5?

# Q.1 # Hvis # Alfa, beta # er ligningenes rødder # X ^ 2-2x + 3 = 0 # få ligningen, hvis rødder er # alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 # og # Beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 #?

Svar

givet ligning # X ^ 2-2x + 3 = 0 #

# => X = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #

Lade # alpha = 1 + sqrt2i og beta = 1-sqrt2i #

Lad nu

# gamma = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 #

# => gamma = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 3 alfa -1 + 2alfa-1 #

# => Gamma = (a-1) ^ 3 + alfa-1 + alfa #

# => Gamma = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #

# => Y = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 #

Og lad

# Delta = beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 #

# => Delta = beta ^ 2 (beta-1) + beta + 5 #

# => Delta = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Delta = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Delta = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #

Så den kvadratiske ligning har rødder #gamma og delta # er

# X ^ 2- (gamma + delta) x + gammadelta = 0 #

# => X ^ 2- (1 + 2) x + 1 * 2 = 0 #

# => X ^ 2-3x + 2 = 0 #

# Q.2 # Hvis en rod af ligningen # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # være den anden, Bevis det # B ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #

Lad en rod være # Alfa # så vil anden rod være # Alfa ^ 2 #

Så # Alfa ^ 2 + alfa = -b / en #

# Alfa ^ 3 = c / a #

# => A ^ 3-1 = c / a-1 #

# => (A-1) (a ^ 2 + a + 1) = c / a-1 = (c-a) / a #

# => (A-1) (- b / a + 1) = (c-a) / a #

# => (A-1) ((a-b) / a) = (c-a) / a #

# => (A-1) = (c-a) / (a-b) #

# => A = (c-a) / (a-b) + 1 = (c-b) / (a-b) #

Nu #alpha # at være en af rødderne af den kvadratiske ligning # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # vi kan skrive

# Aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => A ((c-b) / (a-b)) ^ 2 + b ((c-b) / (a-b)) + c = 0 #

# => A (c-b) ^ 2 + b (c-b) (a-b) + c (a-b) ^ 2 = 0 #

# => Ac ^ 2-2abc + ab ^ 2 + abc-ab ^ 2-b ^ 2c + b ^ 3 + ca ^ 2-2abc + b ^ 2c = 0 #

# => B ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #

bevist

Alternativ

# Aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => Aalpha + b + c / alfa = 0 #

# => A (c / a) ^ (1/3) + b + c / ((c / a) ^ (1/3)) = 0 #

# => C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3) = - B #

# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 = (- b) ^ 3 #

# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3)) ^ 3+ (c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 + 3c ^ (1/3) a ^ (2/3) xxc ^ (2/3) a ^ (1/3) (c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) = (- b) ^ 3 #

# => Ca ^ 2 + c ^ 2a + 3ca (-b) = (- b) ^ 3 #

# => B ^ 3 + ca ^ 2 + c ^ 2a = 3abc #