En streng på 20 cm strækkes i to stykker. Et af stykkerne bruges til at danne en perimeter af en firkant?

Svar:

# "Minimum samlet areal = 10.175 cm²." #

# "Maksimal samlet areal = 25 cm²." #

Forklaring:

# "Navn x længden af stykket for at danne en firkant." #

# "Så er pladsen på pladsen" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Omkredsen af trekanten er" 20-x "." #

# "Hvis y er en af de samme sider af trekanten, så har vi" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => område = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Samlet område =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# x x 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# x x 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Dette er en parabole og minimum for en parabole" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "er" x = -b / (2 * a) ", hvis a> 0." #

# "Maksimumet er" x-> oo ", hvis a> 0." #

# "Så minimum er" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Totalareal =" 10.175 "cm²." #

# "Maksimumet er enten x = 0 eller x = 20". #

# "Vi kontrollerer området:" #

# "Når" x = 0 => "område =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Når" x = 20 => "område =" 5 ^ 2 = 25 "cm2" #

# "Så det maksimale samlede areal er 25 cm²." #

Svar:

Minimumsarealet er #10.1756# og maksimum er #25#

Forklaring:

Omkredsen af en retvinklet isosceles trekant af siden #en# er # A + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # og dens område er # A ^ 2/2 #,

Lad et stykke være #x# cm. hvorfra vi danner en retvinklet isosceles trekant. Det er tydeligt, at siden af den retvinklede ensomme trekant ville være # X / (2 + sqrt2) # og dets område ville være

# X ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (X ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Omkredsen af den anden del af snoren, der danner en firkant, er # (20-x) # og som side af kvadrat er # (20-x) / 4 # dens område er # (20-x) ^ 2/16 # og det samlede areal # T # af de to er

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Overhold det # 3-2sqrt2> 0 #, derfor koefficienten af # X ^ 2 # er positiv og derfor vil vi have en minima, og vi kan skrive # T # som

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0,1054 (x ^ 2-23.7192x + (11,8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11,8596) ^ 2 #

= # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

Som # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 # er altid positiv, vi har minimumsværdi af # T # hvornår # X = 11,8596 #.

Vær opmærksom på at teoretisk er der ingen maksima for funktionen, men som værdi af #x# ligger mellem #0,20#, og når # X = 0 #, vi har # T = 0,1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10,1756 = 25 #

og når # X = 20 # hvornår # T = 0,1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10,1756 = 17,16 #

og dermed maxima er #25#

graf {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11,92, 28,08, -0,96, 19,04}