Hvordan finder du derivatet af (cos ^ 2 (x) sin ^ 2 (x))?

Svar:

# Sin2xcos2x #

Forklaring:

I denne øvelse skal vi anvende to ejendomme

derivatet af produktet:

#COLOR (rød) ((uv) '= u' (x) v (x) + v '(x) u (x)) #

Afledt af en kraft:

#COLOR (blå) ((u ^ n (x)) '= n (u) ^ (n-1) (x) u' (x)) #

I denne øvelse skal du:

#COLOR (brun) (u (x) = cos ^ 2 (x)) #

#COLOR (blå) (u '(x) = 2cosxcos'x) #

#u '(x) = - 2cosxsinx #

At kende den trigonometriske identitet, der siger:

#COLOR (grøn) (sin2x = 2sinxcosx) #

#u '(x) = - farve (grøn) (sin2x) #

Lade:

#COLOR (brun) (v (x) = sin ^ 2 (x)) #

#COLOR (blå) (v '(x) = 2sinxsin'x) #

#v '(x) = 2sinxcosx #

#v '(x) = farve (grøn) (sin2x) #

Så, # (Cos ^ 2xsin ^ 2x) '#

# = Farve (rød) ((uv) '#

# = Farve (rød) (u '(x) v (x) + v' (x) u (x)) #

# = (- sin2x) (sin ^ 2x) + sin (2x) cos ^ 2x #

# = Sin2x (cos ^ 2x-sin ^ 2x) #

At kende den trigonometriske identitet, der siger:

#COLOR (grøn) (cos2x = cos ^ 2x-sin ^ 2x) #

Derfor, # (Cos ^ 2xsin ^ 2x) '= sin2xcos2x #

Vis at cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Jeg er lidt forvirret, hvis jeg laver Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) og cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bliver den negativ som cos (180 ° -theta) = - costheta in den anden kvadrant. Hvordan går jeg med at bevise spørgsmålet?

Se nedenfor. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Hvordan finder du derivatet af y = sin ^ 2x cos ^ 2x?

Dy / dx = -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) Brug produktreglen: Hvis y = f (x) g (x), så dy / dx = f '(x) g (x) + g' x) f (x) Så f (x) = sin ^ 2x g (x) = cos ^ 2x Brug kædelegemet til at finde begge derivater: Husk at d / dx (u2) = 2u * (du) / dx f '(x) = 2sinxd / dx (sinx) = 2sinxcosx g' (x) = 2cosxd / dx (cosx) = - 2sinxcosx Således er dy / dx = 2sinxcosx (cos ^ 2x) -2sinxcosx (sin ^ 2x) = > -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) Der er identiteten, at 2sinxcosx = sin2x, men den identitet er mere forvirrende end nyttig, når man forenkler svar.

Hvordan finder du derivatet af G (x) = (4-cos (x)) / (4 + cos (x))?

(8sinx) / (4 + cosx) ^ 2 Derivatet af kvotienten defineres som følger: (u / v) '= (u'v-v'u) / v ^ 2 Lad u = 4-cosx og v = 4 + cosx At kende den farve (blå) ((d (cosx)) / dx = -sinx) Lad os finde u 'og v' u '= (4-cosx)' = 0-farve (blå) ) = sinx V '= (4 + cosx)' = 0 + farve (blå) ((- sinx)) = - sinx G '(x) = (u'v-v'u) / v ^ 2 G' (x) = (sinx (4 + cosx) - (- sinx) (4-cosx)) / (4 + cosx) ^ 2G '(x) = (4sinx + sinxcosx + 4sinx-sinxcosx) / (4 + cosx ) ^ 2G '(x) = (8sinx) / (4 + cosx) ^ 2