Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x)? Flere spørgsmål

Svar:

Se nedenunder:

Forklaring:

Ansvarsfraskrivelse - Jeg antager det # Phi_0 #, # Phi_1 # og # Phi_2 # betegner jorden, den første ophidsede og anden ophidsede tilstand af den uendelige brønd - de stater, der konventionelt betegnes ved # N = 1 #, # N = 2 #, og # N = 3 #. Så, # E_1 = 4E_0 # og # E_2 = 9E_0 #.

(d) De mulige resultater af energimålinger er # E_0 #, # E_1 # og # E_2 # - med sandsynligheder #1/6#, #1/3# og #1/2# henholdsvis.

Disse sandsynligheder er uafhængige af tiden (når tiden udvikler sig, udvælger hvert stykke en fasefaktor - sandsynligheden, som er givet af modulet kvadreret af koefficienterne - ændres ikke som følge heraf.

(c) Forventningsværdien er # 6E_0 #. Sandsynligheden for en energimåling, der giver dette som resultat er 0. Dette gælder for alle tider.

Ja, # 6E_0 # er ikke en energi egenværdi - så en energimåling vil aldrig give denne værdi - uanset hvad staten har.

(e) Umiddelbart efter den måling, der giver # E_2 #, tilstanden af systemet er beskrevet af bølgefunktionen

#psi_A (x, t_1) = phi_2 #

På #t_> T_1 #, bølgefunktionen er

# psi_A (x, t) = phi_2 e ^ {- iE_2 / ℏ (t-t_1)} #

Den eneste mulige værdi en energimåling vil give på denne tilstand er # E_2 # - på alle tidspunkter # T_2> T_1 #.

(f) Sandsynlighederne afhænger af koefficienternes kvadreret modul - så

#psi_B (x, 0) = sqrt {1/6} phi_0-sqrt {1/3} phi_1 + isqrt {1/2} phi_2 #

vil arbejde (der er uendeligt mange mulige løsninger). Bemærk, at da sandsynlighederne ikke er ændret, vil energiforventningsværdien automatisk være den samme som #psi_A (x, 0) #

(g) Siden # E_3 = 16 E_0 #, vi kan få en forventningsværdi af # 6E_0 # hvis vi har # E_1 # og # E_3 # med sandsynligheder # P # og # 1-p # hvis

# 6E_0 = pE_1 + (1-p) E_3 = 4pE_0 + 16 (1-p) E_0 indebærer #

# 16-12p = 6 betyder p = 5/6 #

Så en mulig bølgefunktion (igen, en af uendeligt mange muligheder) er

#psi_C (x, 0) = sqrt {5/6} phi_1 + sqrt {1/6} phi_3 #