Værdien af synd (2cos ^ (- 1) (1/2)) er hvad?

Svar:

#sin 2 arccos (1/2) = pm sqrt {3} / 2 #

Forklaring:

Det er ligegyldigt, om det er gjort i grader eller radianer.

Vi behandler det inverse cosinus som multivalued. Selvfølgelig en cosinus af #1/2# er en af de tre træt trekanter af trig.

#arccos (1/2) = pm 60 ^ circ + 360 ^ circ k quad # heltal # K #

Dobbelt det, # 2 arccos (1/2) = pm 120 ^ cirk #

Så #sin 2 arccos (1/2) = pm sqrt {3} / 2 #

Selv når spørgsmålet forfattere ikke behøver at bruge 30/60/90, gør de det. Men lad os gøre

#sin 2 arccos (a / b) #

Vi har #sin (2a) = 2 sin a cos a # så

#sin 2 arccos (a / b) = 2 sin arccos (a / b) cos arccos (a / b) #

#sin 2 arccos (a / b) = {2a} / b sin arccos (a / b) #

Hvis cosinus er # A / b # Det er en rigtig trekant med tilstødende #en# og hypotenuse # B #, så modsat #pm sqrt {b ^ 2-a ^ 2}. #

#sin 2 arccos (a / b) = {2a} / b cdot (pm sqrt {b2-a ^ 2}) / b #

# i 2 arccos (a / b) = pm {2a} / b ^ 2 sqrt {b ^ 2-a ^ 2} #

I dette problem har vi # a = 1 og b = 2 # så

#sin 2 arccos (1/2) = pm 1/2 sqrt {3} quad sqrt #

Hovedværdien er positiv.