Hjælp venligst med at løse dette, jeg kan ikke komme med en løsning. Spørgsmålet er at finde f? Givet f: (0, + oo) -> RR med f (x / e) <= lnx <= f (x) -1, x i (0, + oo)

Svar:

#F (x) = LNX + 1 #

Forklaring:

Vi opdele uligheden i 2 dele:

#F (x) -1> = LNX # #-># (1)

#F (x / e) <= LNX ##-># (2)

Lad os se på (1):

Vi omarrangerer for at få #F (x)> = LNX + 1 #

Lad os se på (2):

Vi antager # Y = x / e # og # X = I #. Vi opfylder stadig betingelsen #y i (0, + oo) #.#F (x / e) <= LNX #

#F (y) <= lnye #

#f (y) <= lny + lne #

#F (y) <= LNY + 1 #

#y inx # så #F (y) = f (x) #.

Fra de 2 resultater, #F (x) = LNX + 1 #

Svar:

Antag en formular, brug derefter grænserne.

Forklaring:

Baseret på det faktum, at vi ser f (x) grænserne ln (x), antager vi måske, at funktionen er en form for ln (x). Lad os antage en generel form:

#f (x) = Aln (x) + b #

Plugging i betingelserne betyder det

#Aln (x / e) + b le lnx le Aln (x) + b - 1 #

#Aln (x) - A + b le ln x le A ln x + b - 1 #

Vi kan trække fra #Aln (x) + b # fra hele ligningen til at finde

# - A le (1-A) ln x - b le - 1 #

spejlvende,

# 1 le (A-1) lnx + b le A #

Hvis vi vil have dette til at være sandt for alle x, ser vi, at den øvre grænse er en konstant og #ln (x) # er ubundet, skal dette udtryk klart være 0. Derfor, A = 1, forlader os med

# 1 le b le 1 indebærer b = 1 #

Så vi har kun løsningen med #A = b = 1 #:

#f (x) = ln (x) + 1 #