Svar:
# -Xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Forklaring:
Begynd med at bruge sumregel for integraler og opdele dem i to separate integraler:
# Intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
Den første af disse miniintegraler er løst ved hjælp af integration af dele:
Lade # U = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# Dv = e ^ (2-x) DX> intdv = inte ^ (2-x) DX> v = -e ^ (2-x) #
Nu bruger integrationen med delformel # Intudv = uv-intvdu #, vi har:
# Intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - XE ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - XE ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
Den anden af disse er et tilfælde af revers power rule, som hedder:
# Intx ^ NDX = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Så # Int3x ^ 2dx = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Derfor, # Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (Husk at tilføje integrationskonstanten!)
Vi får den oprindelige betingelse #F (0) = 1 #, så:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Gør denne endelige substitution, får vi vores endelige løsning:
# Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
