To sider af en trekant er 6 m og 7 m i længden, og vinklen mellem dem øges med en hastighed på 0,07 rad / s. Hvordan finder du den hastighed, hvor trianglen er stigende, når vinklen mellem siderne med fast længde er pi / 3?

De overordnede trin er:

1. Tegn en trekant i overensstemmelse med den givne information, mærkning relevante oplysninger
2. Bestem hvilke formler, der giver mening i situationen (Areal af hele trekanten baseret på to sider med fast længde og trig-forhold af højre trekanter for variabel højden)
3. Forbind eventuelle ukendte variabler (højde) tilbage til variablen # (Theta) # hvilket svarer til den eneste givne sats # ((d theta) / (dt)) #
4. Gør nogle substitutioner til en "main" formel (områdeformlen), så du kan forvente at bruge den givne kurs
5. Differentier og brug den givne sats for at finde den kurs, du søger # ((DA) / (dt)) #

Lad os skrive ned de formelle oplysninger:

# (d theta) / (dt) = "0,07 rad / s" #

Så har du to fastlængdesider og en vinkel mellem dem. Den tredje længde er en variabel værdi, men det er teknisk en irrelevant længde. Hvad vi vil have er # (DA) / (dt) #. Der er ingen tegn på, at dette er en rigtig trekant, men lad os starte med at antage, at det ikke er i øjeblikket.

En teoretisk konsistent trekant er:

Husk på, at dette ikke er forholdsmæssigt repræsentativt for den sande trekant. Området af dette kan findes mest nemt med:

#A = (B * h) / 2 #

hvor vores base er selvfølgelig #6#. Hvad er # H #, selvom? Hvis vi tegner en skillelinje lodret fra toppunktet til bunden, har vi automatisk en rigtig trekant på venstre side af den overordnede trekant, uanset af længden af siden #x#:

Nu vi gøre har en rigtig trekant. Bemærk dog, at vores områdeformel har # H # men ikke # Theta #, og vi ved kun # (d theta) / (dt) #. Så vi skal repræsentere # H # i form af en vinkel. At vide, at den eneste kendte side på venstre højre trekant er #7#-længde side:

#sintheta = h / 7 #

# 7sintheta = h #

Indtil videre har vi:

# (d theta) / (dt) = "0,07 rad / s" # (1)

#A = (Bh) / 2 # (2)

# 7sintheta = farve (grøn) (h) # (3)

Så kan vi tilslutte (3) ind i (2), differentiere (2) og implicit erhverve # (d theta) / (dt) #, og plug (1) ind i (2) at løse for # (DA) / (dt) #, vores mål:

#A = (6 * farve (grøn) (7sintheta)) / 2 = 21sintheta #

#color (blå) ((dA) / (dt)) = 21costheta ((d theta) / (dt)) #

# = 21costheta ("0.07 rad / s") #

Endelig, på #theta = pi / 3 #, vi har #cos (pi / 3) = 1/2 # og:

# = 10,5 (0,07) = farve (blå) ("0,735 u" ^ 2 "/ s") #

(Noter det #6*7# betyder enhederne bliver # "u" * "u" = "u" ^ 2 #, og #2# er ikke en sidelængde, så den havde ingen enheder. Også, # "Rad" # anses normalt for at være udeladt, dvs. # "rad / s" => "1 / s" #)