Hvordan forenkler du 2cos ^ 2 (4θ) -1 ved hjælp af en dobbeltvinkelformel?

Svar:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

Forklaring:

Der er flere dobbeltvinkelformler til cosinus. Normalt er den foretrukne en den, der forvandler en cosinus til en anden cosinus:

# cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Vi kan faktisk tage dette problem i to retninger. Den enkleste måde er at sige # X = 4 theta # så får vi det

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

hvilket er ret forenklet.

Den sædvanlige måde at gå på er at få det i form af # cos theta #. Vi begynder at lade # X = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 theta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 theta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 theta-256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta-32 cos ^ 2 theta + 1 #

Hvis vi sætter # x = cos theta # vi ville have den ottende Chebyshev-polynom af den første slags, # T_8 (x) #, tilfredsstillende

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Jeg gætter på den første vej var sandsynligvis hvad de er efter.