Spørgsmål om tyngdekraften?

(a) Til genstand for masse # m = 2000 kg # bevæger sig i et cirkulært kredsløb i radius # R # med en hastighed # V_0 # omkring jorden af masse # M # (på en højde # H # af # 440 m #), orbitalperioden # T_0 # er givet af Keplers tredje lov.

# T_0 ^ 2 = (4pi ^ 2) / (GM) r ^ 3 # ……(1)

hvor # G # er Universal Gravitational Constant.

Med hensyn til rumskibs højde

# T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / (GM) (R + h) ^ 3) #

Indsætte forskellige værdier, vi får

# T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.37xx10 ^ 6 + 4.40xx10 ^ 5) ^ 3) #

# => T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.81xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.81xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T_0 = 5591.0 s #

(b) Centripetal kraft er afbalanceret af tyngdekraften. Udtrykket bliver

# (Mv_0 ^ 2) / r = (GMM) / r ^ 2 #

# => V_0 = sqrt ((GM) / r) #

Alternativt, for et cirkulært kredsløb

# V_0 = romega #

# => V_0 = (R + h) (2pi) / T_0 #

Indsætte forskellige værdier i alternativ udtryk

# V_0 = (6.81xx10 ^ 6) (2pi) / 5591 #

# => v_0 = 7653 m cdot s ^ -1 #

(c) Kinetisk energi i Picards rumskib lige efter skudtning

# E_K = 1 / 2mv ^ 2 #

Indsætte forskellige værdier, vi får

# E_K = 1/2 (2000) ((100-1.30) / 100xx7653) ^ 2 #

# => E_K = 5.7xx10 ^ 10 J #

(d) Potentiel energi i dette rumskib på samme tid

#E_P = - (GMM) / (r) #

Indsætte forskellige værdier, vi får

#E_P = - ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24) (2000)) / (6.81xx10 ^ 6) #

# E_P = -1.17xx10 ^ 11 J #

(e) Total energi # E_T = E_P + E_K #

# E_T = -1.17xx10 ^ 11 + 5.7xx10 ^ 10 #

# E_T = -6.0xx10 ^ 10 J #

(f) Semi major #en# akse er givet af

#E_T = - (GMM) / (2a) #

# => A = - (GMM) / (2E_T) #

Indsætte givne værdier får vi

# => A = - ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24) (2000)) / (2 (-6.0xx10 ^ 10)) #

# => a = 6.65xx10 ^ 6 m #

g) Den nye kredsløbsperiode # T # findes fra udtrykket

# T ^ 2 = (4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.65xx10 ^ 6) ^ 3 #

# => T = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.65xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T = 5395.1 s #

(h) Picard er nu hurtigere end Igor efter tid

# DeltaT = 5591.0-5395.1 = 195.9 s #

Da han ankom først til punkt # P # han var # 84.0 s # bag. Nu tidligere af

# 195.9-84.0 = 111.9 s #