Svar:
Se forklaring
Forklaring:
Lade # A = p / q # hvor # P # og # Q # er positive heltal.
# 1ltp / q # derfor # Qltp #. # P / qlt2 # derfor # Plt2q #. Derfor # Qltplt2q #.
# A + 1 / a = p / q + q / p = (pp) / (qp) + (qq) / (pq) = (p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 + 2PQ + q ^ 2-2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) - (2PQ) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) -2 #
# (Q + q) ^ 2 / (qq) lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (2q + q) ^ 2 / (2qq) #*
# (2q) ^ 2 / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (3q) ^ 2 / (2q ^ 2) #
# (4q ^ 2) / k ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (9q ^ 2) / (2q ^ 2) #
# 4LT (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2 #
# 4-2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2 #
# 2LT (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2 #
# 2lta + 1 / alt5 / 2 #
# 5 / 2lt6 / 2 #
# 5 / 2lt3 #
# 2lta + 1 / alt3 #
~~ Flere avancerede emner fremad ~~
* Dette antager, at som # P # stiger, # (P + q) ^ 2 / (pq) # stiger. Dette kan verificeres intuitivt ved at se på grafen til # Y = (x + q) ^ 2 / (xq) # på #x i (q, 2q) # for forskellige positive værdier af # Q #, eller ved beregningsprocessen nedenfor.
~
# Del / (Delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = 1 / qdel / (Delp) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (Delp) (p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2del / (Delp) p) / p ^ 2 = 1 / q (p 2 (p + q) - (p + q) ^ 2 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (p + q) - (p + q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2PQ) - (p ^ 2 + 2PQ + q ^ 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) #.
På #p i (q, 2q) #:
Siden # Pgtqgt0 #, # P ^ 2gtq ^ 2 # dermed # P ^ 2-q ^ 2gt0 #.
Siden #Q> 0 #, # P ^ 2qgt0 #
Siden # P ^ 2-q ^ 2gt0 # og # P ^ 2qgt0 #, # (P ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #
Siden # Del / (Delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) # og # (P ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #, # Del / (Delp) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0 #
Derfor # (P + q) ^ 2 / (pq) # er stigende for konstant # Q # og # Qltplt2q # fordi # Del / (Delp) (p + q) ^ 2 / (pq) # er positiv.
~~~~
Svar:
I beskrivelse
Forklaring:
Her begrænsning (1):
# 1 <a <2 #
Constraint (2):
Ved gensidig sætning, # 1/1> 1 / a> 1/2 #
# 1> a> 1/2 #
I begrænsning 1 tilføj 1 på begge sider, # 1 + 1 <a + 1 <2 + 1 #
# 2 <a + 1 <3 #
#farve (rød) (a + 1 <3) #
I samme begrænsning tilføj 1/2
# (1 + 1/2) <(a + 1/2) <(2 + 1/2) #
Igen bemærke, at #2 <2+1/2#
Så # A + 1/2 # skal være mindre end 2
#farve (rød) (a + 1/2) <2 #
Derfor i begrænsning 2, # 1> a> 1/2 #
Tilføj en på begge sider, # 1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 #
Det gjorde vi det fordi # A + 1 <3 #
Så # A + 1 / en # skal være mindre end 3
Igen # A + 1/2 <2 # men i denne begrænsning # a + 1 / a> a + 1/2 #
Så, # A + 1 / en # skal være større end 2.
derfor # 1> 1 / a> 1 2 #
Ved at tilføje en på begge sider, # 1 + a> a + 1 / a> a + 1/2 #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 # bevist
