Find maxima og minima for f (x) = 5sinx + 5cosx i et interval på [0,2pi]?

Svar:

Der er

• et lokalt maksimum på # (pi / 2, 5) # og
• et lokalt minimum på # ((3pi) / 2, -5) #

Forklaring:

#color (darkblue) (sin (pi / 4)) = farve (mørkblå) (cos (pi / 4)) = farve (mørkblå) (1) #

#F (x) = 5sinx + 5cosx #

#COLOR (hvid) (f (x)) = 5 (farve (mørkeblå) (1) * sinx + farve (mørkeblå) (1) * cosx) #

#COLOR (hvid) (f (x)) = 5 (farve (mørkeblå) (cos (pi / 4)) * sinx + farve (mørkeblå) (sin (pi / 4)) * cosx) #

Anvend sammensat vinkelidentitet til sinusfunktionen

#sin (alfa + beta) = sin alfa * cos beta + cos alfa * sin beta #

#COLOR (sort) (f (x)) = 5 * sin (pi / 4 + x) #

Lade #x# Vær den #x-#koordinere lokal ekstrem af denne funktion.

# 5 * cos (pi / 4 + x) = f (x) = 0 #

# Pi / 4 + x = pi / 2 + k * pi # hvor # K # et heltal.

# X = -pi / 2 + k * pi #

#x i {pi / 2, (3pi) / 2} #

• #F (pi / 2) = 5 * sin (pi / 2) = 5 #,

  derfor er der et lokalt maksimum på # (pi / 2, 5) #

• #F (pi / 2) = 5 * sin ((3pi) / 2) = - 5 #,

  derfor er der et lokalt minimum på # (pi / 2, -5) #