Funktionen f (x) = sin (3x) + cos (3x) er resultatet af en række transformationer, hvor den første er en horisontal oversættelse af funktionssynet (x). Hvilken af dette beskriver den første transformation?

Svar:

Vi kan få grafen af # Y = f (x) # fra # Ysinx # ved at anvende følgende transformationer:

• en vandret oversættelse af # Pi / 12 # radianer til venstre

• en strækning langs #Okse# med en skala faktor på #1/3# enheder

• en strækning langs # Oy # med en skala faktor på #sqrt (2) # enheder

Forklaring:

Overvej funktionen:

# f (x) = synd (3x) + cos (3x) #

Lad os antage, at vi kan skrive denne lineære kombination af sinus og cosinus som en enkeltfaseskiftet sinusfunktion, det antages at vi har:

# f (x) - = Asin (3x + alfa) #

# = A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

# = Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x #

I så fald ved at sammenligne koefficienter af # Sin3x # og # Cos3x # vi har:

# Acos alpha = 1 # og # Asinalpha = 1 #

Ved kvadrering og tilføjelse har vi:

# A ^ 2cos ^ 2alfa + A ^ 2sin ^ 2alpha = 2 => A ^ 2 = 2 => A = sqrt (2) #

Ved at dele har vi:

# tan alpha => alpha = pi / 4 #

Således kan vi skrive, #F (x) # i formularen:

# f (x) - = synd (3x) + cos (3x) #

# = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #

# = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) #

Så vi kan få grafen af # Y = f (x) # fra # Ysinx # ved at anvende følgende transformationer:

• en vandret oversættelse af # Pi / 12 # radianer til venstre
• en strækning langs #Okse# med en skala faktor på #1/3# enheder
• en strækning langs # Oy # med en skala faktor på #sqrt (2) # enheder

Som vi kan se grafisk:

Grafen af # Y = sinx #:

graf {sinx -10, 10, -2, 2}

Grafen af # Y = sin (x + pi / 12) #:

graf {sin (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

Grafen af # y = sin (3 (x + pi / 12)) = synd (3x + pi / 4) #:

graf {sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

Grafen af # y = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2) sin (3x + pi / 4):

graf {sqrt (2) sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

Og endelig, grafen af den oprindelige funktion til sammenligning:

graf {sin (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}