Hvad er en egenvektor? + Eksempel

Svar:

Hvis vektor # V # og lineær transformation af et vektorrum #EN# er sådan, at #A (v) = k * v # (hvor konstant # K # Hedder egenværdi), # V # hedder en egenvektor af lineær transformation #EN#.

Forklaring:

Forestil dig en lineær transformation #EN# at strække alle vektorer med en faktor på #2# i det tredimensionale rum. En hvilken som helst vektor # V # ville blive omdannet til # 2v #. Derfor er alle vektorer for denne transformation egenvektorer med egenværdi af #2#.

Overvej en rotation af et tredimensionalt rum omkring Z-akse med en vinkel på # 90 ^ o #. Selvfølgelig vil alle vektorer undtagen dem langs Z-aksen ændre retningen og kan derfor ikke være egenvektorer. Men disse vektorer langs Z-aksen (deres koordinater er af formen # 0,0, z #) vil bevare deres retning og længde, derfor er de egenvektorer med egenværdi af #1#.

Endelig overveje en rotation af # 180 ^ o # i et tredimensionelt rum omkring Z-akse. Som før vil alle vektorer lange Z-akse ikke ændre sig, så de er egenvektorer med egenværdi af #1#.

Derudover er alle vektorer i XY-planet (deres koordinater er af formularen # X, y, 0 #) vil ændre retningen modsat, mens længden holdes nede. Derfor er de også egenvektorer med egenværdier af #-1#.

Enhver lineær transformation af et vektorrum kan udtrykkes som multiplikation af en vektor af en matrix. For eksempel beskrives det første eksempel på strækning som multiplikation med en matrix #EN#

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

En sådan matrix multipliceret med en hvilken som helst vektor # V = {x, y, z} # vil producere # A * v = {2x, 2y, 2z} #

Dette er tydeligvis lig med # 2 * v #. Så har vi

# A * v = 2 * v #, hvilket beviser at enhver vektor # V # er en egenvektor med en egenværdi #2#.

Det andet eksempel (rotation ved # 90 ^ o # omkring Z-aksen) kan beskrives som multiplikation med en matrix #EN#

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

En sådan matrix multipliceret med en hvilken som helst vektor # V = {x, y, z} # vil producere # A * v = {- y, x, z} #, som kan have samme retning som den oprindelige vektor # V = {x, y, z} # kun hvis # X = y = 0 #, det vil sige hvis den originale vektor er rettet langs Z-aksen.