Hvordan integrerer du int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx ved hjælp af trigonometrisk substitution?

Svar:

(101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-kvt101) / (10 (e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) + 1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Forklaring:

Løsningen er lidt lang !!!

Fra det givne #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Bemærk det # I = sqrt (-1) # det imaginære nummer

Sæt til det komplekse nummer et stykke tid og fortsæt til integralet

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

ved at udfylde pladsen og lave nogle grupper:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((xx + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Første trigonometrisk substitution: ##

Den akutte vinkel # W # med modsatte sider # = E ^ x + 10 # og tilstødende side #=1# med hypotenuse =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Lade # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

og så

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Integralet bliver

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

fra trigonometri #sec w = 1 / cos w # og #tan w = sin med cos w #

Integralet bliver

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # og

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Andet trigonometrisk substitution:

Lade # w = 2 tan ^ -1 z #

# Dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

og også # z = tan (w / 2) #

Den rigtige trekant: Den akutte vinkel # M / 2 # med modsat side # = z #

Tilstødende side #=1# og hypotenuse # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Fra trigonometri: Hentning af halvvinkelformler

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

løse for #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Også ved hjælp af identiteten #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

Den følger det

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

integralet bliver

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * 2) / (1 + z ^ 2)) #

Forenkling af de integrerede resultater til

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Ved at udfylde torget:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Brug nu formlen (ua) / (u + a)) + C #

Lade # U = z + 1/10 # og # A = sqrt101 / 10 # og inkludere tilbage # I = sqrt (-1) #

Skriv det endelige svar ved hjælp af originale variabler

(101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-kvt101) / (10 (e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) + 1)) + 1 + sqrt101)) + C #