Hjælp venligst. Jeg er ikke sikker på, hvordan du gør dette hurtigt uden at gange det hele ud?

Svar:

Svaret til (jeg) er #240#.

Svaret til (Ii) er #200#.

Forklaring:

Vi kan gøre dette ved at bruge Pascal's Triangle, vist nedenfor.

(jeg)

Da eksponenten er #6#, vi skal bruge den sjette række i trekanten, som indeholder #farve (lilla) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # og #COLOR (lilla) 1 #. Dybest set vil vi bruge #COLOR (blå) 1 # som første sigt og #COLOR (rød) (2x) # som den anden. Derefter kan vi oprette følgende ligning. Eksponenten af første periode stiger med #1# hver gang og eksponenten af andet sigt falder med #1# med hvert udtryk fra trekanten.

# (Farve (lilla) 1 * farve (blå) (1 ^ 0) * farve (rød) ((2x) ^ 6)) + (farve (lilla) 6 * farve (blå) (1 ^ 1) * farve (rød) ((2x) ^ 5)) + (farve (lilla) 15 * farve (blå) (1 ^ 2) * farve (rød) ((2x) ^ 4)) + (farve (lilla) 20 * farve (blå) (1 ^ 3) * farve (rød) ((2x) ^ 3)) + (farve (lilla) 15 * farve (blå) (1 ^ 4) * farve (rød) ((2x) ^ 2)) + (farve (lilla) 6 * farve (blå) (1 ^ 5) * farve (rød) ((2x) ^ 1)) + (farve (lilla) 1 * farve (blå) (1 ^ 6) * farve (rød) ((2x) ^ 0)) #

Så kan vi forenkle det.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Derfor er koefficienten af # X ^ 4 # er #240#.

(Ii)

Vi ved allerede udvidelsen af # (1 + 2x) ^ 6 #. Nu kan vi formere de to udtryk sammen.

#COLOR (brun) (1-x (1/4)) * farve (orange) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

Koefficienten af #x# i # 1-x (1/4) # er #1#. Så vi ved, at det vil øge eksponenternes værdier i det andet udtryk med #1#. Fordi vi har brug for koefficienten af # X ^ 4 #, vi skal bare forøge # 160x ^ 3 # ved # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Nu skal vi tilføje det # 240x ^ 4 #. Dette er en del af løsningen af # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, på grund af multiplikationen ved #1#. Det er vigtigt, fordi det også har en eksponent for #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Derfor er koefficienten #200#.

Svar:

jeg. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Forklaring:

Den binomiale ekspansion for # (A + bx) ^ c # kan repræsenteres som:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

For del 1 behøver vi kun, når # N = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

For del 2 har vi også brug for # X ^ 3 # sigt på grund af # X / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #