Først indstille problemet.
Straks de to
Løsningen til hvilken er
hvor
Dette bør ikke være meget overraskende, idet derivater og integraler er modsætninger. Derfor bør integralet af et derivat returnere den oprindelige funktion
Hvad er integralet af (ln (xe ^ x)) / x?
Int ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C Vi gives: int ln (xe ^ x) / (x) dx Brug ln (ab) = ln (a) + ln (b): = int (ln (x) + ln (ex)) / (x) dx Brug ln (a ^ b) = bln (a): = int ) + xln (e)) / (x) dx Brug ln (e) = 1: = int (ln (x) + x) / (x) dx Splitter fraktionen (x / x = 1): = int (ln (x) / x + 1) dx At adskille de opsummerede integraler: = int ln (x) / xdx + int dx Det andet integral er simpelthen x + C, hvor C er en vilkårlig konstant. Det første integral, vi bruger u-substitution: Lad u equiv ln (x), derfor du = 1 / x dx Brug u-substitution: = int udu + x + C Integrering (den vilkårlig konstante C
Hvad er integralet af int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?
Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Vores store problem i dette integral er roden, så vi vil slippe af med det. Vi kan gøre dette ved at indføre en substitution u = sqrt (2x-1). Derivatet er så (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Så vi deler gennem (og husk at dividere ved en gensidig er det samme som at multiplicere med kun nævneren) for at integrere med hensyn til u: int x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / annullere (sqrt (2x-1)) annullere (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Nu er alt, hvad vi skal gøre, udtrykt x ^ 2 med hensyn t
Hvad er integralet af int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?
1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Først erstatter vi: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) anden substitution: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) (v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v-1) 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Nu har vi: -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) int1 + 1 / ((v + 1) (v-1)) dv = int1-1 / (2 (v + 1 ) +