Hvad er int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Svar:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Forklaring:

Denne forklaring er lidt lang, men jeg kunne ikke finde en hurtigere måde at gøre det på …

Integralet er en lineær applikation, så du kan allerede opdele funktionen under integralskiltet.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

De 2 første termer er polynomiske funktioner, så de er nemme at integrere. Jeg viser dig hvordan man gør det med # X ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # så # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Du gør nøjagtig samme ting til # X ^ 3 #, resultatet er #255/4#.

Finding #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # er lidt lang og kompliceret. Først multiplicerer du fraktionen med #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # og så ændrer du variablen: lad os sige #u = sqrt (x-1) #. Så # Du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # og du skal nu finde # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 +1) ^ 2du #. For at finde den har du brug for den delvise fraktion nedbrydning af den rationelle funktion # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # med # a, b, c, d i RR #. Efter beregning finder vi ud af det # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, hvilket betyder at # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2)

# int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # Det er velkendt, det er #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Langt om længe, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) (1 + u ^ 2) #

Du erstatter # U # ved sit oprindelige udtryk med #x# at have #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, som er #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Så endelig, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #