Svar:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Forklaring:
Lade #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
Lad os antage, at vi har at gøre med reelle værdier og derfor den rigtige naturlige logaritme.
Så er vi tvunget til #x> 0 # for at #ln (5x) # defineres.
For nogen #x> 0 # Begge udtryk er veldefinerede og så #F (x) # er en veldefineret funktion med domæne # (0, oo) #.
Noter det # 3LN (5) # og # X ^ 3 # er begge strenge monotoniske stigende på dette domæne, så vores funktion er også og er en-til-en.
For små positive værdier af #x#, begrebet # X ^ 3 # er lille og positiv og udtrykket # 3LN (5x) # er vilkårligt stort og negativt.
For store positive værdier af #x#, begrebet # 3LN (5x) # er positiv og udtrykket # X ^ 3 # er vilkårligt stort og positivt.
Da funktionen også er kontinuerlig, er rækkevidden # (- oo, oo) #
Så for enhver værdi af #y i (-oo, oo) # der er en unik værdi af #x i (0, oo) # sådan at #f (x) = y #.
Dette definerer vores inverse funktion:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Det er #F ^ (- 1) (y) # er værdien af #x# sådan at #f (x) = y #.
Vi har vist (uformelt), at dette eksisterer, men der findes ingen algebraisk løsning til #x# med hensyn til # Y #.
Grafen af #F ^ (- 1) (y) # er grafen for #F (x) # afspejles i linjen # Y = x #.
I sæt notation:
#f = {(x, y) i (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
#f ^ (- 1) = {(x, y) i RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
