Kan ligningen løses?

Svar:

Ligningen har en løsning med # a = b 0, theta = kpi, k i ZZ #.

Forklaring:

Først og fremmest bemærke det # Sec ^ 2 (theta) = 1 / cos ^ 2 (theta) 1 # for alle #theta i RR #.

Så overvej højre side. For ligningen skal have en løsning, må vi have

# (4ab) / (a + b) ^ 2> = 1 #

# 4ab> = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

{siden # (A + b) ^ 2 0 # for alle virkelige # A, b #}

# 0 a ^ 2-2ab + b ^ 2 #

# 0 (a-b) ^ 2 #

Den eneste løsning er hvornår # A = b #.

Nu, erstatning # A = b # ind i den oprindelige ligning:

# Sec ^ 2 (theta) = (4a ^ 2) / (2a) ^ 2 = 1 #

# 1 / cos ^ 2 (theta) = 1 #

#cos (theta) = ± 1 #

# theta = kpi, k i ZZ #

Således har ligningen en løsning med # a = b 0, theta = kpi, k i ZZ #.

(Hvis # A = b = 0 #, så ville der være en division-for-nul i den oprindelige ligning.)