Hvordan differentierer du f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) ved hjælp af produktreglen?

Svar:

Først bruger du produktionsregel til at få

# d / dxf (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #

Brug derefter lineariteten af derivat- og funktionderivatdefinitionerne til at få

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx-xsinx + 2xcosx #

Forklaring:

Produktregel indebærer at tage derivatet af funktion, som er multipler af to (eller flere) funktioner i formularen #F (x) = g (x) * h (x) #. Produktreglen er

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)) #.

Anvendelse på vores funktion,

#F (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) #

Vi har

# d / dxf (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #.

Derudover skal vi bruge lineariteten af derivationen, det

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dx f (x)) + b * (d / dx g (x)) #.

Anvendelse af dette har vi

dx (xx) -d / dx (ex)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx) + 2 * d / dx (sinx)) #.

Vi skal gøre de enkelte derivater af disse funktioner, vi bruger

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

Nu har vi

# d / dx f (x) = (1 * x ^ 0-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #.

# d / dx f (x) = (1-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #

På dette tidspunkt slog vi bare lidt

# d / dx f (x) = (cosx + 2sinx) -e ^ x (cosx + 2sinx) + x (-sinx + 2 * cosx) + e ^ x (sinx-2cosx)

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2 e ^ xsinx-xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx-xsinx + 2xcosx #