Højden af en trekant stiger med en hastighed på 1,5 cm / min, mens trekantenes område er stigende med en hastighed på 5 cm / min. Ved hvilken hastighed ændres bunden af trekanten, når højden er 9 cm, og området er 81 kvadrat cm?
Dette er en relateret hastighed (af forandring) type problem. De interesserede variabler er a = højde A = område, og da området af en trekant er A = 1 / 2ba, har vi brug for b = base. De givne ændringer er i enheder pr. Minut, så den (usynlige) uafhængige variabel er t = tid i minutter. Vi får: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min Og vi bliver bedt om at finde (db) / dt når a = 9 cm og A = 81 cm "" 2 A = 1 / 2ba, der differentieres med hensyn til t, får vi: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Vi skal bruge produktreglen til højre. (dA) / dt
Vand lækker ud af en inverteret konisk tank med en hastighed på 10.000 cm3 / min samtidig med at vandet pumpes i tanken med konstant hastighed Hvis tanken har en højde på 6m og diameteren øverst er 4m og hvis vandstanden stiger med en hastighed på 20 cm / min, når vandets højde er 2m, hvordan finder du den hastighed, hvormed vandet pumpes i tanken?
Lad V være vandmængden i tanken, i cm ^ 3; lad h være dybden / højden af vandet, i cm; og lad r være radius af overflade af vandet (ovenpå), i cm. Da tanken er en inverteret kegle, er det også vandets masse. Da tanken har en højde på 6 m og en radius på toppen af 2 m, betyder lignende trekanter at frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 således at h = 3r. Volumenet af den inverterede kegle vand er så V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Differentier nu begge sider med hensyn til tid t (i minutter) for at få frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (
Vand lækker på et gulv danner en cirkulær pool. Puljens radius øges med en hastighed på 4 cm / min. Hvor hurtigt er poolens område stigende, når radiusen er 5 cm?
40pi "cm" ^ 2 "/ min. Først skal vi begynde med en ligning, vi kender vedrørende et område af en cirkel, poolen og dens radius: A = pir ^ 2 Vi vil dog se, hvor hurtigt området puljen er stigende, hvilket lyder meget som sats ... hvilket lyder meget som et derivat. Hvis vi tager derivatet af A = pir ^ 2 med hensyn til tid, ser vi det: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (Glem ikke, at kædelegemet gælder til højre side med r ^ 2 - dette svarer til implicit differentiering.) Så vi vil bestemme (dA) / dt. Spørgsmålet fortalte os, at (dr) / dt = 4 da den sagde "p