Spørgsmål # c7520

Svar:

Brug dobbeltvinkelsidentiteten for sinus og enhedskredsen for at finde løsninger på # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, og # (3pi) / 2 #.

Forklaring:

For det første bruger vi den vigtige identitet # Sin2theta = 2sinthetacostheta #:

# Sin2theta-costheta = 0 #

# -> 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

Nu kan vi faktorere ud # Costheta #:

# 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

# -> costheta (2sintheta-1) = 0 #

Og ved at bruge nul produktegenskaben får vi løsninger af:

# costheta = 0 "og" 2sintheta-1 = 0-> sintheta = 1/2 #

Så hvornår gør # Costheta = 0 # på intervallet # -Pi / 2 <= theta <= (3pi) / 2 #? Løsningerne kan findes ved hjælp af enheden cirkel og en egenskab af cosinusfunktionen:

#cos (-theta) = costheta #

Hvis # Theta = pi / 2 #, derefter:

#cos (-pi / 2) = cos (pi / 2) #

Fra enhedskredsen ved vi det #cos (pi / 2) = 0 #, hvilket også betyder #cos (-pi / 2) = 0 #; så to løsninger er # -Pi / 2 # og # Pi / 2 #. Enheden cirkel fortæller os også det #cos ((3pi) / 2) = 0 #, så vi har en anden løsning der.

Nu på # Sintheta = 1/2 #. Igen skal vi bruge enhedens cirkel for at finde vores løsninger.

Vi ved fra enheden cirkel det #sin (pi / 6) = 1/2 #, og #sin ((5pi) / 6) = 1/2 #, så vi tilføjer # Pi / 6 # og # (5pi) / 6 # til listen over løsninger.

Endelig sætter vi alle vores løsninger sammen: # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, og # (3pi) / 2 #.

Enhedscirklen