Svar:
Det bestemte integral er # 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #.
Forklaring:
Der er altid flere måder at henvende sig til integrationsproblemer på, men det er sådan, jeg løste dette:
Vi ved, at ligningen for vores cirkel er:
# x ^ 2 + y ^ 2 = 25 #
Det betyder det for enhver #x# værdi vi kan bestemme de to # Y # værdier over og under dette punkt på x-aksen ved hjælp af:
# y ^ 2 = 25 - x ^ 2 #
#y = sqrt (25-x ^ 2) #
Hvis vi forestiller os, at en linje trukket fra toppen af cirklen til bunden med konstant #x# værdi på ethvert tidspunkt, det vil have en længde på to gange # Y # værdi givet ved ovenstående ligning.
# r = 2sqrt (25 - x ^ 2) #
Da vi er interesserede i området mellem linjen #x = 3 # og slutningen af cirklen på #x = 5 #, det vil være vores integrerede grænser. Fra det tidspunkt er det simpelt at skrive det konkrete integral:
#A = int_3 ^ 5rdx = 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #
Svar:
Som et alternativ, i polar
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
Forklaring:
du kan også gøre det i polar
cirklen i polar er r = 5 og bruger den enkleste formulering af arealet #A = 1/2 int r ^ 2 (psi) d psi # bliver ved hjælp af symmetrien omkring x-aksen
#A = 2 gange (1/2 int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} 5 ^ 2 d psi - farve {rød} {1/2 * 3 * 4}) #
hvor den røde bit er som vist skygget i rødt på tegningen
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
# = 25 psi _ {0} ^ {arcsin (4/5)} - 12 #
# = 25 arcsin (4/5) - 12 #
