Hvad er antiderivatet af 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Svar:

# 1 / 2karctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Forklaring:

Så her har vi integreret:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

Og formen af kvadratisk reciprok synes at tyde på, at trigonometrisk substitution ville fungere her. Så først fuldføre firkanten for at få:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Anvend derefter substitutionen #u = x-1 # at fjerne den lineære:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Så vi kan sikkert ændre variabler uden uønskede bivirkninger:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Nu er dette den ideelle form til udførelse af en trigonometrisk substitution; # u ^ 2 + 1 # foreslår den pythagoranske identitet # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, så vi anvender substitutionen #u = tantheta # for at forenkle nævneren:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Så bliver integralet:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Nu bruger vi dobbeltvinkelformlen til # cos # at gøre denne antiderivative mere håndterbar:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Derefter sætte det ind i integralet:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (og genåbne dette med dobbeltvinklen formel for #synd#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Nu, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Endelig kommer til det punkt:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2karctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #