Svar:
Nr.1 / 4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Forklaring:
Lad først # T = cosx #.
# Y = t ^ 2 + 7t + 8 #
Lad os nu fuldføre firkanten til at faktor dette.
# Y = (t ^ 2 + 7t) + 8 #
Noter det # (T + 7/2) ^ 2 = (t + 7/2) (t + 7/2) #
# = T ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #
# = T ^ 2 + 7t + 49/4 #
Så vi vil tilføje #49/4# ind i udtrykket og trække det tilbage igen.
# Y = (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #
Noter det #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.
# Y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #
Bemærk nu det Som nr.17 / 4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.
# Y = (t + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #
Nu har vi en forskel på kvadrater og kan faktor det som en.
#Y = (t + 7/2) + sqrt17 / 2 (t + 7/2) -sqrt17 / 2 #
# Y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #
Hvis vi ønsker det, kan vi bringe en fælles faktor af #1/2# ud af hver del:
# Y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Svar:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
Forklaring:
lade # u = cos (x) #
Spørgsmålet bliver så:
faktor # U ^ 2 + 7U + 8 # du kan bare bruge kvadratisk formel her, dvs. # u = frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #
eller du kunne gøre det på lang vej (hvilket ikke er bedre end formlen, er det faktisk en af de metoder, der bruges til at formulere den kvadratiske formel):
find to rødder, # r_1 # og # r_2 # sådan at # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
Udvide: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #
# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #
Dermed: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
og derfor: # - (r_1 + r_2) = 7 # og # (r_1) (r_2) = 8 #
# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49-4 (8) = 17 #
# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #
# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #
# r_1-r_2 = sqrt (17) #
# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + sqrt (17)} {2} #
# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #
Således er den fakturerede form (u + frac {7 + sqrt (17)} {2})
sub # u = cos (x) # at få:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
