Hvad er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

$Hvad er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?$

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

Brug af polynomidentiteten

# (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) #

vi har for #abs x <1 #

#lim_ (n-> oo) (x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) #

så for #x ne k pi, k i ZZ # vi har

#sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) #

Vis at cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Jeg er lidt forvirret, hvis jeg laver Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) og cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bliver den negativ som cos (180 ° -theta) = - costheta in den anden kvadrant. Hvordan går jeg med at bevise spørgsmålet?

Se nedenfor. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Hvad er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Og hvad er summen i x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["er konvergensintervallet for x" "x = 3 er ikke i konvergensintervallet, så summen for x = 3 er" oo "Behandle summen som det er en geometrisk serie ved at erstatte "" z = log_2 (x + 1) / (x-2)) "Så har vi" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "for" | z | <1 "Så konvergensintervallet er" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negativ)" "Positive tilfælde:" => x-2 &

Hvad er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X i (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Vi kan vække det sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n er en geometrisk serie med forholdet r = 1 / (x (1-x)). Nu ved vi, at den geometriske serie konvergerer, når absolutværdien af forholdet er mindre end 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Så vi skal løse denne ulighed: 1 / (x (1-x)) <1 og 1 / (x (1-x))> -1 Lad os begynde med den første: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - Vi kan let bevise, at tælleren altid er positiv, og nævneren er negetiv i (x-x) intervallet x i (-oo, 0) U (1, oo). Så det er løsningen for vores