Fru Fox spurgte hendes klasse er summen af 4,2 og kvadratroden af 2 rationelle eller irrationelle? Patrick svarede, at summen ville være irrationel. Angiv, om Patrick er korrekt eller forkert. Retfærdiggør din begrundelse.

Svar:

Summen # 4.2 + sqrt2 # er irrationel; det arver den aldrig gentagne decimaludvidelsesegenskab for #sqrt 2 #.

Forklaring:

en irrationelle nummer er et tal, der ikke kan udtrykkes som et forhold på to heltal. Hvis et tal er irrationelt, fortsætter dets decimaludvidelse for evigt uden et mønster og omvendt.

Det ved vi allerede #sqrt 2 # er irrationel. Dens decimaludvidelse begynder:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Nummeret #4.2# er rationel; det kan udtrykkes som #42/10.# Når vi tilføjer 4,2 til decimaludvidelsen af #sqrt 2 #, vi får:

#sqrt 2 + 4.2 = farve (hvid) + 1.414213562373095 … #

#color (hvid) (sqrt 2) farve (hvid) + farve (hvid) (4.2 =) + 4,2 #

#color (hvid) (sqrt 2) farve (hvid) + farve (hvid) (4.2 =) bar (farve (hvid) (+) 5.614213562373095 …) #

Det er let at se, at denne sum også ikke ophører eller har et gentagende mønster, så det er også irrationelt.

Generelt er summen af et rationelt tal og et irrationelt nummer altid irrationelt; Argumentet ligner ovenstående.

Svar:

#COLOR (blå) ("rigtige") #

Forklaring:

Hvis vi begynder med at sige summen er rationel: Alle rationelle tal kan skrives som kvoten af to heltal # A / bcolor (hvid) (88) # #B! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Produktet af to heltal er et helt tal:

Forskellen mellem to heltal er et helt tal:

Så:

# 5a-21b # er et helt tal.

# 5b # er et helt tal.

Derfor:

# (5a-21b) / (5b) # er rationel.

Men det ved vi #sqrt (2) # er irrationel, så dette er en modsætning fra vores antagelse om, at summen var rationel, derfor er summen af et irrationelt tal og et rationelt tal altid irrationelt.