En trekant har hjørner A (a, b), C (c, d) og O (0, 0). Hvad er ligningen og området for triangles cirkulære cirkel?

Svar:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # hvor

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

(a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-bc) ^ 2)

#A = pi s #

Forklaring:

Jeg generaliserede spørgsmålet; lad os se, hvordan det går. Jeg forlod et toppunkt ved oprindelsen, hvilket gør det lidt mindre rodet, og en vilkårlig trekant er let oversat.

Trianglen er selvfølgelig helt uvæsentlig for dette problem. Den omtalte cirkel er cirklen gennem de tre punkter, som tilfældigvis er de tre hjørner. Trianglen gør et overraskende udseende i løsningen.

Nogle terminologi: Den omtalte cirkel hedder trekanten circumcircle og dens midtpunkt trekantens circumcenter.

Den generelle ligning for en cirkel med center # (P, q) # og kvadreret radius # S # er

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

og området af cirklen er #A = pi s. #

Vi har tre ukendte # P, q, s # og vi kender tre point, så vi får tre ligninger:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # fordi oprindelsen er på cirklen.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Lad os løse de samtidige ligninger. Lad os omdanne dem til to lineære ligninger ved at udvide og subtrahere par, hvilket betyder at tabe # P ^ 2 + q ^ 2 # til venstre og # S # til højre.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

subtraktion, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Tilsvarende

# 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Det er to ligninger i to ukendte. # AX = K # har løsning # X = A ^ {- 1} K. # Jeg kan huske de to med to matrix-inverse, som jeg ikke ved, hvordan man formaterer, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

For os betyder det

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

og en kvadreret radius af

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

(a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-bc) ^ 2)

så et område af # Pi # gange det beløb.

Vi kan se udtrykket blive mere symmetrisk, hvis vi overvejer, hvad der sker for den vilkårlig trekant # (A, B), (C, D), (E, F). # Vi sætter # A = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # men jeg vil ikke arbejde det ud nu.

Jeg noterer tælleren af # S # er produktet af de tre kvadratiske længder af trekantens sider, og nævneren af # S # er seksten gange det kvadratiske område af trekanten.

I rationel trigonometri kaldes kvadratiske længder quadrances og seksten gange det kvadratiske område hedder quadrea. Vi fandt kvadranten af omkredsens radius er produktet af trekantets kvadrater divideret med dets quadrea.

Hvis vi kun har brug for radius eller område af circumcircle, kan vi opsummere resultatet her som:

Den cirkulære radius af circumcircle er produktet af trekantenes kvadratiske længder divideret med seksten gange trekantens kvadratiske område.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #