Spørgsmål nr. 0df97

Svar:

Svaret til 4 er # E ^ -2 #.

Forklaring:

Problemet er:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Nu er dette et svært problem. Løsningen ligger i meget omhyggelig mønstergenkendelse. Du kan huske definitionen af # E #:

# E = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2,718 … #

Hvis vi kunne omskrive grænsen som noget tæt på definitionen af # E #, vi ville have vores svar. Så lad os prøve det.

Noter det #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # svarer til:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Vi kan opdele fraktionerne som sådan:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Vi kommer derhen! Lad os faktorere en #-2# fra toppen og bunden:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (annullere (-2)) / (annullere (-2) (- x-2))) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

Lad os anvende substitutionen # U = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Eksponenternes egenskaber siger: # X ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Så #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # svarer til:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Eksponenternes egenskaber siger også det: # X ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Hvilket betyder, at dette yderligere reducerer til:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Per definition, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; og ved anvendelse af direkte substitution på de andre grænseværdier:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Så løsningen er …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (E) ^ - 2 (1) #

# = E ^ -2 #