Løs 10cos x + 13cos x / 2 = 5?

Svar:

Opløsning: # (x ~~ 106,26 ^ 0, x ~~ -106,26 ^ 0) #

# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # eller

# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #

# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # eller

# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # eller

# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # eller

# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0:. enten

# (4 cos (x / 2) +5) = 0 eller (5 cos (x / 2) -3) = 0 #

# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # eller

# cos (x / 2)! = 5/4 # siden rækkevidde af #cos x # er #-1,1#

# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # eller

#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53,13 ^ 0 #

Også #cos (-53.13) ~~ 3/5:. x = 53,13 * 2 ~ ~ 106,26 ^ 0 #

og # x = (-53,13) * 2 ~ ~ -106,26 ^ 0 #

Opløsning: # (x ~~ 106,26 ^ 0, x ~~ -106,26 ^ 0) # Ans

# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # heltal # K #

Lad os begynde med at erstatte # y = x / 2 # at slippe af med de fraktionerede vinkler.

# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #

Den foretrukne form af cosinus dobbeltvinkelformlen er

#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #

substituere, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #

# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #

Det er en smerte at faktor, men lidt søgning kommer op med

# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #

#cos y = 3/5 eller cos y = -5 / 4 #

Vi kan ignorere cosinus uden for rækkevidde.

#cos y = 3/5 #

Vi kan bruge dobbeltvinkelformlen:

#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #

# x = arccos (-7/25) #

Det er en Pythagorean Triple #7^2+24^2=25^2# så vi kan forsøge at skrive det som # arctan (pm 24/7) # men det er mere fremmede rødder.

# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi k quad # heltal # K #

Kontrollere:

Vi kontrollerer et par med en lommeregner.

# x = tekst {Arc} tekst {cos} (- 7/25) ca. 106.260205 ^ cirk #

# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 gange 10 ^ {- 8} quad sqrt #

Lad os tilføje 360 og tjekke igen:

# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = -15,6 quad # Fungerer ikke.

På grund af halvvinklen synes det korrekte svar at være

# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # heltal # K #