Spørgsmål # ecc3a

Svar:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Forklaring:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Svar:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Forklaring:

Når vi har en kvadratisk i nævneren og nr #x#I tælleren ønsker vi at få integreret i følgende form:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

I vores tilfælde kan vi gøre dette ved at udfylde firkanten og derefter bruge en substitution.

# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + k #

# K = 3/4 for #

# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Vi ønsker at introducere en u-substitution sådan at:

# (X + 1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

Vi kan løse for #x# at finde ud af, hvad denne substitution skal være:

# x + 1/2 = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 / 2u-1/2 #

At integrere med hensyn til # U #, vi multiplicerer med derivatet af #x# med respekt for # U #:

# Dx / (du) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = #

= 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #

Vi kan nu løse for # U # med hensyn til #x# at erstatte:

# U = (2x + 1) / sqrt3 #

Det betyder, at vores endelige svar er:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #