Hvad repræsenterer øjeblikkelig hastighed på en graf?

Forudsat at grafen er af afstand som en funktion af tiden, repræsenterer hældningen af linjen tangent til funktionen ved et givet punkt den øjeblikkelige hastighed på det tidspunkt.

For at få en ide om denne skråning skal man bruge grænser. For et eksempel, formoder, at man får en afstandsfunktion #x = f (t) #, og man ønsker at finde den øjeblikkelige hastighed eller hastighedsændring på tidspunktet # p_0 = (t_0, f (t_0)) #, hjælper det med at først undersøge et andet nærliggende punkt, # p_1 = (t_0 + a, f (t_0 + a)) #, hvor #en# er nogle vilkårligt lille konstant. Hældningen af secant linje passerer gennem grafen på disse punkter er:

# F (t_0 + a) -f (t_0) / en #

Som # P_1 # tilgange # P_0 # (som vil forekomme som vores #en# fald), vores ovenfor #forskellen kvotient # vil nærme sig en grænse, der er angivet her # L #, hvilket er hældningen af tangentlinjen på det givne punkt. På dette tidspunkt kan en punkt-hældningsligning ved hjælp af ovenstående punkter give en mere præcis ligning.

Hvis man i stedet er bekendt med differentiering, og funktionen er både kontinuerlig og differentierbar ved den givne værdi af # T #, så kan vi simpelthen differentiere funktionen. I betragtning af at de fleste fjernfunktioner er polynomiale funktioneraf formularen #x = f (t) = at ^ n + bt ^ (n-1) + ct ^ (n-2) + … + yt + z, # disse kan differentieres ved hjælp af magt regel som siger det til en funktion #f (t) = at ^ n, (df) / dt # (eller #F '(t) #) = # (N) på ^ (n-1) #.

Således for vores generelle polynomiale funktion ovenfor, #x '= f' (t) = (n) ved ^ (n-1) + (n-1) bt ^ (n-2) + (n-2) ct ^ (n-3) + … + y # (Bemærk at siden #t = t ^ 1 # (som ethvert tal opbragt til den første magt er lig med sig selv), reducerer strømmen med 1 forlader os med # t ^ 0 = 1 #Derfor er det sidste udtryk simpelthen # Y #. Bemærk også, at vores # Z # Term, som en konstant, ændrede sig ikke med hensyn til # T # og blev således kasseret i differentiering).

Dette #F '(t) # er afledet af afstandsfunktionen med hensyn til tid; Det måler således hastigheden af ændring af afstand med tiden, hvilket blot er hastigheden.