Hvad er ligningen i standardform for parabolen med fokus på (42, -31) og en directrix af y = 2?

Svar:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # standard formular

Forklaring:

Vær opmærksom på, at directrixen er en vandret linje

#y = 2 #

Derfor er parabolen den type, der åbner opad eller nedad; den ekstreme form af ligningen for denne type er:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

Hvor # (H, k) # er vertex og # F # er den signerede lodrette afstand fra vertex til fokus.

Spidsens x-koordinat er det samme som fokusets x-koordinat:

#h = 42 #

Erstatning #42# til # H # ind i ligning 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

Y-koordinatet af vertex er halvvejs mellem directrix og fokus:

#k = (y_ "directrix" + y_ "fokus") / 2 #

# k = (2 + (- 31)) / 2 #

# k = -29 / 2 #

Erstatning #-29/2# til # K # ind i ligning 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

Ligningen for at finde værdien af # F # er:

#f = y_ "fokus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Erstatning #-33/2# til # F # ind i ligning 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Forenkle fraktionen:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Udvid firkanten:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Fordel fraktionen:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-294 / 11-29 / 2 #

Kombiner lignende udtryk:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # standard formular

Svar:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Forklaring:

Vi løser dette Problem ved hjælp af følgende Fokus-Directrix

Ejendom (FDP) af Parabel.

FDP: Ethvert punkt på en Parabel er lige langt fra

Fokus og Ledelinje.

Lad det punktet # F = F (42, -31), "og linjen" d: y-2 = 0, # være

det Fokus og ledelinje af Parabol, siger S.

Lade, # P = P (x, y) i S, # være nogen Generelt punkt.

Derefter bruger du Afstand Formel, vi har afstanden

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

At vide, at # BOT #dist. mellem et punkt # (K, k), # og en linje:

# Ax + by + c = 0, # er, # | Ah + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # vi finder det, # "den" bot "" dist. btwn "P (x, y), &, d" er, "| y-2 | ………….. (2). #

Ved FDP, # (1) og (2), # vi har, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 |, eller #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957, dvs. #

# X ^ 2-84x + 1764 = -66y-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # som i Standard formular, læser, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

som Respekterede Douglas K. Sir har allerede afledt!

Nyd matematik.!