Hvorfor får vi et positivt heltal på at multiplicere to negative heltal?

Svar:

Brug distribution af multiplikation over addition og andre egenskaber af aritmetik til at demonstrere …

Forklaring:

Tilføjelse og multiplikation af heltal har forskellige egenskaber, kendt som aksiomer. Jeg vil bruge stenografi # AA # "for alle", # EE # "der eksisterer" #:# "sådan at" som følger:

Der er en additiv identitet #0#:

#EE 0: AA a "" a + 0 = 0 + a = a #

Tilsætning er kommutativ:

#AA a, b "" a + b = b + a #

Tilsætning er associativ:

#AA a, b, c "" (a + b) + c = a + (b + c) #

Alle heltal har en inverse under tilføjelse:

#AA en EE b: a + b = b + a = 0 #

Der er en multiplikativ identitet #1#:

#EE 1: AA a "" a * 1 = 1 * a = a #

Multiplikation er kommutativ:

#AA a, b "" a * b = b * a #

Multiplikation er associativ:

#AA a, b, c "" (a * b) * c = a * (b * c) #

Multiplikation er venstre og højre fordelende over tilføjelse:

#AA a, b, c "" a * (b + c) = (a * b) + (a * c) #

#AA a, b, c "" (a + b) * c = (a * c) + (b * c) #

Vi bruger notationen #-en# at repræsentere additivet omvendt af #en# og notationen # A-b # som en stenografi for #A + (- b) #.

Bemærk at associativitet af tilsætning betyder, at vi utvetydigt kan skrive:

# A + b + c #

Ved hjælp af PEMDAS-konventionen udføres tilsætning og subtraktion venstre til højre, kan vi undgå at skrive nogle flere parenteser, men alligevel holde tingene entydige.

Så finder vi:

# (- a) (- b) = (-a) (- b) + 0 #

#color (hvid) ((- a) (- b)) = (-a) (- b) + (- ab) + ab #

#color (hvid) ((- a) (- b)) = ((-a) (- b) -ab) + ab #

#color (hvid) ((- a) (- b)) = ((-a) (- b) + 0-ab) + ab #

#color (hvid) (- a) (-b)) = ((-a) (-b) + (a) (- b) - (a) (- b) -ab) + ab #

#color (hvid) (- a) (- b)) = ((-a) (- b) + (a) (- b)) - ((a) (- b) + ab)) + ab #

#color (hvid) (- a) (- b)) = ((-a) + a) (- b) - (a) ((b) + b)) + ab #

#color (hvid) ((- a) (- b)) = (0 * (- b)) - (a * 0) + ab #

#farve (hvid) ((- a) (- b)) = 0-0 + ab #

#color (hvid) ((- a) (- b)) = 0 + ab #

#farve (hvid) ((- a) (- b)) = ab #

Så hvis #a, b # er positive og du er tilfreds med det # Ab # er også positiv, da # (- a) * (- b) = ab # er også positiv.