En trekant har siderne A, B og C. Siderne A og B har henholdsvis længder på henholdsvis 2 og 4. Vinklen mellem A og C er (7pi) / 24, og vinklen mellem B og C er (5pi) / 8. Hvad er området for trekanten?

Svar:

Området er # Sqrt {6} - sqrt {2} # kvadratiske enheder, ca. #1.035#.

Forklaring:

Området er et halvt produkt af to sider gange vinklen mellem vinklen mellem dem.

Her får vi to sider, men ikke vinklen mellem dem, vi får den andre to vinkler i stedet. Så bestemm først den manglende vinkel ved at bemærke, at summen af alle tre vinkler er # Pi # radianer:

# Theta = PI- {7 pi} / {24} - {5 pi} / {8} = pi / {12} #.

Derefter er området af trekanten

Areal # = (1/2) (2) (4) sin (pi / {12}) #.

Vi skal beregne # Sin (pi / {12}) #. Dette kan gøres ved hjælp af formlen for sinus af en forskel:

#sin (pi / 12) = sin (farve (blå) (pi / 4) -farve (guld) (pi / 6)) #

# = Sin (farve (blå) (pi / 4)) cos (farve (guld) (pi / 6)) - cos (farve (blå) (pi / 4)) sin (farve (guld) (pi / 6)) #

# = ({ Sqrt {2}} / 2) ({ sqrt {3}} / 2) - ({ sqrt {2}} / 2) (1/2) #

# = { Sqrt {6} - sqrt {2}} / 4 #.

Derefter gives området af:

Areal # = (1/2) (2) (4) ({ sqrt {6} - sqrt {2}} / 4) #

# = Sqrt {6} - sqrt {2} #.