En trekant har siderne A, B og C. Siderne A og B har henholdsvis længder på henholdsvis 10 og 8. Vinklen mellem A og C er (13pi) / 24, og vinklen mellem B og C er (pi) 24. Hvad er området for trekanten?

Svar:

Da trekantvinkler tilføjes til # Pi # vi kan finde ud af vinklen mellem de givne sider og områdesformlen giver

#A = frac 1 2 a b sin C = 10 (sqrt {2} + sqrt {6}) #.

Forklaring:

Det hjælper, hvis vi alle holder fast i konventionen om små bogstaver # A, b, c # og stort bogstav modsatte hjørner # A, B, C #. Lad os gøre det her.

Området af en trekant er # A = 1/2 a b sin C # hvor # C # er vinklen mellem #en# og # B #.

Vi har # B = frac {13 pi} {24} # og (gætter det er en skrivefelt i spørgsmålet) # A = pi / 24 #.

Da trekantvinkler tilføjer op til # 180 ^ circ # aka # Pi # vi får

#C = pi - pi / 24 - frac {13 pi} {24} = frac {10 pi} {24} = frac {5pi} {12} #

# Frac {5pi} {12} # er # 75 ^ circ. # Vi får sin sinus med summevinkelformlen:

# synd 75 ^ cirk = synd (30 + 45) = synd 30 cos 45 + cos 30 sin 45 #

# = (frac 1 2 + frac sqrt {3} 2) sqrt {2} / 2 #

# = frac 1 4 (sqrt (2) + sqrt (6)) #

Så vores område er

#A = frac 1 2 a b sin C = frac 1 2 (10) (8) frac 1 4 (sqrt (2) + sqrt (6)) #

#A = 10 (sqrt {2} + sqrt {6}) #

Tag det nøjagtige svar med et saltkorn, fordi det ikke er klart, vi gættede rigtigt, hvad askeren betød med vinklen mellem # B # og # C #.