Svar:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # til #b i RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) til #b = | b | e ^ (itheta) i CC #
Forklaring:
Ved algebraets grundlæggende sætning kan vi faktorisere det givne udtryk som
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alfa_k) #
hvor hver # Alpha_k # er en rod af # X ^ 8 + b ^ 8 #.
Løsning for # Alpha_k #, vi får
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | B | (-1) ^ (1/8) # (forudsat #b i RR #)
# = | B | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k i ZZ #
Som #k i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # regnskaber for alle unikke værdier af den form, får vi vores faktorisering som for #b i RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
For en mere generel #b i CC #, så antager #b = | b | e ^ (itheta) #, vi kan gennemgå lignende beregninger at finde
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
betyder
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)))
Beklager, jeg overser nogle mindre detaljer, svaret fra sente er korrekt.
Antaget #b ne 0 # og # a, b i RR # vi har
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # derefter
# A / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # derefter
# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # er # K = 0,1, cdots, 7 # rødder eller faktorer.
Definere
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
og så
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) en b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) en b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
så
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # med virkelige koefficienter.
